NSAも関与するNISTの耐量子暗号標準化プロジェクトで最終候補に採択され、標準化されました（2022年）

通常版

🔐 Kyber の数学的な基礎

Kyberは「格子ベース暗号」の一種で、特に「Module Learning With Errors（Module-LWE）問題」に基づいています。

📌 概念：格子（Lattice）とは？

簡単にいうと、整数の線形結合によって作られる多次元のグリッド構造のこと。

格子暗号は、**「格子に関する困難な問題」**を暗号強度の根拠にしている。

🧮 Kyber の構成要素（数式レベル）

Kyberは、以下のような整数環と多項式環を使います。

📘 使用される数論構造

$q$ ：素数のモジュロ（Kyber-1024では $q = 3329$ ）
$n$ ：多項式の次数（Kyberでは $n = 256$ ）
$\mathbb{Z}_q$ ：mod $q$ 上の整数環
$R_q = \mathbb{Z}_q[X] / (X^n + 1)$ ：次数 $n$ の多項式環（Kyberが定義される主な空間）

📦 Kyber の主要な操作とパラメータ（Kyber-1024）

項目	内容
$k$	セキュリティパラメータ。Kyber-1024では $k = 4$
$A \in R_q^{k \times k}$	公開のランダム行列
$s, e \in R_q^k$	小さなランダムな「秘密ベクトル」
$t = A \cdot s + e \in R_q^k$	公開鍵の一部（ノイズ付き線形写像）

🔐 鍵生成（KeyGen）

ランダムな行列 $A \in R_q^{k \times k}$ を生成
小さい多項式ベクトル $s, e \in R_q^k$ を生成（ノイズ含む）
$t = A \cdot s + e$ を計算
公開鍵： $pk = (A, t)$
秘密鍵： $sk = s$

🔐 鍵カプセル化（Encapsulation）

新しい小さいベクトル $r, e_1, e_2 \in R_q^k$ をランダムに生成
暗号文：
- $u = A^T \cdot r + e_1 \in R_q^k$
- $v = t^T \cdot r + e_2 + m \in R_q$
- $ct = (u, v)$
共有鍵 $k$ をハッシュで導出（SHA3-256(ct || m)など）

🔐 鍵復元（Decapsulation）

$(u, v)$ を受け取る
$m' = v - u^T \cdot s$
$k = \text{Hash}(ct || m')$ で同じ共有鍵を再構築

🤯 なぜ安全なの？

暗号強度は以下のような「難問」に依存：

🧩 Module-LWE 問題：

与えられた $A$ , $t = A \cdot s + e$ において、ノイズ $e$ がある状態で秘密 $s$ を求めるのは困難。

これが、量子コンピュータでも解くのが困難だと考えられています。

📉 ノイズ（エラー項）の役割

Kyberでは $e$ や $e_1, e_2$ のようなノイズ多項式を各演算に混ぜています。
これにより、観測される $t$ や $v$ から逆算して $s$ を復元することが不可能になります。

✅ まとめ：Kyberの数学的本質

概念	内容
暗号基盤	Module-LWE問題（格子ベース）
数学的構造	多項式環 $\mathbb{Z}_q[X]/(X^n + 1)$
安全性の鍵	ノイズによる逆算困難性
特徴	高速、コンパクト、量子耐性あり

📘 補足資料

NIST標準候補ページ：https://csrc.nist.gov/projects/post-quantum-cryptography
Kyberの論文: "CRYSTALS-Kyber: A CCA-Secure Module-LWE Cryptosystem"
実装： https://github.com/pq-crystals/kyber

幼稚園児

了解〜！じゃあ、Kyber-1024 を 幼稚園児にもわかるように、超やさしく説明してみるね🍭

🎁 Kyberは「秘密のプレゼント交換ゲーム」だよ！

👧🏻 ある日、アリスちゃんとボブくんは

「他の誰にも知られないように、おそろいの秘密のパスワードを作りたいな〜」って思ったんだ。

でもね…

😱 おしゃべりすると、悪い子（ハッカーくん）が聞いちゃうかもしれない！

🎩 そこで使うのが「Kyber」っていう魔法の箱

この箱はこういうことができるよ：

🧙‍♂️ 魔法1：「秘密のかけら」を入れると

誰にもわからないようにぐるぐるまわして
「秘密パスワードのカプセル」を作ってくれる！

🧙‍♀️ 魔法2：そのカプセルをアリスちゃんが受け取ると

アリスちゃんだけが
ボブくんと同じパスワードを取り出せるの！

🛡️ なんでハッカーくんにはバレないの？

このカプセルの中には、**ちょっとだけわざと入れた"まちがい（ノイズ）"**があるんだ！
ハッカーくんはこのノイズのせいで、中身を見てもわけがわからなくなっちゃう！

🤖 そして！未来のこわい「量子コンピューターくん」が来ても…

Kyberくんの魔法はとってもむずかしいパズルになってるから、
どんなに頭がよくても **ぜんぜん解けない！**🧩

🎉 だから Kyber は…

かしこい大人たちが作った、
とーっても強い鍵交換の魔法道具なんだよ✨

まとめ☝️

誰？	何した？
アリス	秘密のパスワードをボブと共有したい
ボブ	魔法のカプセルを送った
Kyber	カプセルを作って、中身はノイズ入りで守った
ハッカー	ノイズでわけわかんない！😭

test

2025年4月13日日曜日

耐量子暗号をgptに聞く